Poussée d' Archimède

Poussée d'Archimède

La poussée d'Archimède est la force particulière que subit un corps plongé en tout ou en partie dans un fluide (liquide ou gaz) soumis à un champ de gravité.

Cette force provient de l'augmentation de la pression du fluide avec la profondeur (effet de la gravité sur le fluide, voir l'article hydrostatique) : la pression étant plus forte sur la partie inférieure d'un objet immergé que sur sa partie supérieure, il en résulte une poussée globalement verticale orientée vers le haut.

Cette poussée définit la flottabilité d'un corps.

Histoire et légende [modifier]

Archimède [modifier]

Article détaillé : Archimède.

Archimède comparant l'or et l'argent

Archimède est un savant grec qui vécut à Syracuse (Sicile) de 287 av. J.-C. à 212 av. J.-C. Il est connu pour ses multiples travaux scientifiques, théoriques ou pratiques, que ce soit en mathématique ou en physique. Parmi ces derniers, son Traité des corps flottants jette les bases de ce qui sera plus tard la science nommée hydrostatique. C'est notamment dans cet ouvrage qu'il étudie avec rigueur l'immersion d'un corps, solide ou fluide, dans un fluide de densité inférieure, égale ou supérieure. Le théorème qui portera plus tard le nom du savant y est ainsi énoncé (ce théorème fut ensuite démontré au XVI^e siècle).

La couronne du roi Hiéron II [modifier]

Vitruve rapporte que le roi Hiéron II de Syracuse (306-214) aurait demandé à son jeune ami et conseiller scientifique Archimède (âgé alors de 22 ans seulement) de vérifier si une couronne d'or, qu'il s'était fait confectionner comme offrande à Jupiter, était totalement en or ou si l'artisan y avait mis de l'argent. La vérification avait bien sûr pour contrainte de ne pas détériorer la couronne. La forme de celle-ci était en outre trop complexe pour effectuer un calcul du volume de l'ornement. Archimède aurait trouvé le moyen de vérifier si la couronne était vraiment en or, alors qu'il était au bain public, en observant comment des objets y flottaient. Il serait alors sorti dans la rue en s'écriant le célèbre « Eurêka » (j'ai trouvé).

Ce que constate Archimède au bain public est que, pour un même volume donné, les corps n'ont pas le même poids apparent, c'est-à-dire une masse par unité de volume différente. On parle de nos jours de masse volumique. L'argent (masse volumique 10 500 kg·m^-3) étant moins dense que l'or (masse volumique 19 300 kg·m^-3), il a donc une masse volumique plus faible. De là, Archimède déduit que si l'artisan a caché de l'argent dans la couronne du roi, alors elle a une masse volumique plus faible. Ainsi fut découverte la supercherie du joaillier.

La solution au problème [modifier]

Pour répondre à la question du roi Hiéron, Archimède a donc pu comparer les volumes d'eau déplacés par la couronne et une masse d'or identique. Si les deux déplacent le même volume d'eau, leur masse volumique est alors égale et on peut en conclure que les deux sont composées du même métal. Pour réaliser l'expérience, on peut imaginer plonger dans un récipient rempli à ras-bord la masse d'or. Une certaine quantité d'eau débordera alors du récipient. Ensuite, on retire l'or et on le remplace par la couronne à étudier. Si la couronne est bien totalement en or, alors l'eau ne débordera pas. En revanche, si sa densité est plus faible, de l'eau supplémentaire débordera.

Cette méthode présente deux inconvénients. Le premier est qu'elle ne fait ici intervenir en rien le principe d'Archimède. Le second problème est qu'avec des conditions réalistes, en raison de la forme de la couronne et de la densité de l'or, la hauteur d'eau déplacée est très faible (inférieur au millimètre). Il est donc peu probable qu'Archimède ait pu tirer des conclusions significatives à partir d'une telle expérience.

Une méthode plus réaliste est la suivante. En disposant sur chaque bras d'une balance la couronne d'un côté et son poids égal en or, l'équilibre est initialement obtenu. Ensuite, on peut immerger les deux bras dans de l'eau. Si la couronne et l'or ont la même masse volumique, alors la poussée d'Archimède sera égale sur les deux bras de la balance et l'équilibre sera respecté. Si la couronne ne contient pas uniquement de l'or, alors elle subira une poussée d'Archimède plus importante et un déséquilibre sera alors visible.

Autres propositions du traité des corps flottants [modifier]

Le traité des corps flottants contient d'autres propositions relatives au théorème d'Archimède :

Proposition III : Un solide de même volume et de même poids (en fait de même masse volumique) que le liquide dans lequel il est abandonné y enfoncera de façon à n’émerger nullement au-dessus de la surface, mais à ne pas descendre plus bas.
Proposition IV : Tout corps plus léger que le liquide où il est abandonné ne sera pas complètement immergé, mais restera en partie au-dessus de la surface du liquide.
Proposition V : Un solide plus léger que le liquide dans lequel on l’abandonne s'y enfonce de telle façon qu’un volume de liquide égal à la partie immergée ait le même poids que le solide entier.
Proposition VI : Lorsqu’un corps est plus léger que le liquide où on l’enfonce et remonte à la surface, la force qui pousse en haut ce corps a pour mesure la quantité dont le poids d’un égal volume de liquide surpasse le poids même du corps.
Proposition VII : Un corps plus lourd que le liquide où on l’abandonne descendra au fond et son poids, dans le liquide, diminuera d’une quantité mesurée, par ce que pèse un volume de liquide égal à celui du corps.

Formulation du théorème d'Archimède [modifier]

Tout corps plongé dans un fluide au repos, entièrement mouillé par celui-ci ou traversant sa surface libre, subit une force verticale, dirigée de bas en haut et opposée au poids du volume de fluide déplacé ; cette force est appelée « poussée d'Archimède ».

Pour que le théorème s'applique il faut que le fluide immergeant et le corps immergé soient au repos. Il faut également qu'il soit possible de remplacer le corps immergé par du fluide immergeant sans rompre l'équilibre, le contre-exemple étant le bouchon d'une baignoire remplie d'eau : si celui-ci est remplacé par de l'eau, il est clair que la baignoire se vide et que le fluide n'est alors plus au repos. Le théorème ne s'applique pas puisque nous sommes dans un cas où le bouchon n'est pas entièrement mouillé par le liquide et ne traverse pas sa surface libre.

Une fois les conditions précédents respectées, dans un champ de pesanteur uniforme, la poussée d'Archimède P_A est donnée par la formule suivante :

$\vec{P}_{\rm A \,} = - \, M_{\rm f\,} \vec{g}$ ,

où M _f est la masse du fluide contenu dans le volume V déplacé, et g la valeur du champ de pesanteur.

Si la masse volumique ρ du fluide est elle aussi uniforme, on aura :

$\vec{P}_{\rm A \,} = - \, \rho \, V \vec{g}$

ou encore, si l'on considère les normes des forces :

$||\vec{P}_{\rm A \,} || = \rho \, V \, g$

La poussée d'Archimède P_A s'exprimera en newton (N) si la masse volumique ρ est en kg/m³, le volume de fluide déplacé V en m³ et la valeur de la pesanteur g en N/kg (ou m/s²).

Démonstration [modifier]

Expérience de pensée [modifier]

Considérons un fluide au repos. Délimitons, par une expérience de pensée, un certain volume de forme quelconque au sein de ce fluide. Ce volume est lui aussi au repos : malgré son poids, ce volume ne tombe pas. Cela signifie donc que son poids est rigoureusement équilibré par une force opposée, qui le maintient sur place, et qui ne provient du fluide l'extérieur. Remplaçons maintenant, toujours dans notre expérience de pensée, ce volume par un corps quelconque. Comme la force qui maintenait le fluide en équilibre est une force de pression agissant à la surface du volume, il est possible de supposer que cette même force s'applique encore au corps immergé : elle est toujours opposée au poids de fluide déplacé. C'est la poussée d'Archimède. Le fait que les champs de force soient identiques pour le fluide homogène au repos et pour le corps immergé dans le fluide au repos est appelé « théorème de solidification ».

Idée de calcul [modifier]

Supposons un cube d'arête a entièrement immergé dans un liquide, sa face du haut étant horizontale et située à une profondeur z₁ > 0 (le sens positif est vers le bas).

Dans le cas d'un liquide incompressible au repos soumis à un champ de pesanteur uniforme, la pression absolue p vaut

p = p_o + p _h ,

où p_o est la pression atmosphérique et p _h la pression hydrostatique.

À une profondeur z, la pression hydrostatique correspond au poids P d'une colonne de liquide (que l'on peut imaginer cylindrique) de hauteur z et de base A, divisé par la base. Or

P = m g = [ρ (z A)] g ,

où m est la masse de la colonne, zA son volume, ρ la masse volumique (supposée uniforme) du liquide et g l'accélération de la gravité, ce qui donne

p _h = P / A = ρ g z .

La pression absolue vaut donc

p = p_o + ρ g z .

Par symétrie, les forces de pression exercées sur les quatre faces verticales du cube s'annulent deux à deux.

La force F ₁ exercée vers le bas sur la face du haut, d'aire A = a², vaut

F₁ = p ₁ A = (p_o + ρ g z₁) a ².

La force F₂ exercée vers le haut sur la face du bas, située à la profondeur z₂ = z₁ + a, vaut

F₂ = p₂A = (p_o + ρ g z₂) a² = [p_o + ρ g (z₁ + a)] a².

La résultante F de toutes les forces de pression vaut donc

F = F₁ – F₂ = – (ρ g a) a² = – ρ g a³ = – ρ g V = – ρV g = – M_fg ,

où V = a³ est le volume du cube, c'est-à-dire en l'occurrence le volume immergé, et M_f la masse du fluide contenu dans un volume V. La grandeur de la force résultante est donc bien égale à celle du poids M_fg du volume de fluide déplacé ; cette force étant négative, elle est bien orientée verticalement vers le haut.

Il est possible de généraliser la démonstration précédente à un volume de forme quelconque. Il suffit de décomposer la surface bordant le volume en une infinité d'éléments infinitésimaux dS supposés plans, puis de faire la somme, à l'aide du calcul intégral, de toutes les forces infinitésimales df exercées sur chaque élément de surface.

Démonstration plus générale [modifier]

Supposons un volume quelconque $\mathcal{V}\,$ , délimité par une surface fermée $\Sigma\,$ , plongé entièrement dans un fluide de masse volumique $\rho\,$ soumis à un champ de pesanteur uniforme $\vec{g}\,$ .

On cherche à déterminer la résultante des forces de pression exercées sur le volume :

$\vec{F} = \int_{\Sigma} d\vec{f}$ .

Par définition de la pression $p\,$ , on a

$d\vec{f} = - \, p \, d\vec{S}$

où $d\vec{S}\,$ est un élément infinitésimal de la surface considérée, orienté par convention vers l'extérieur de cette surface, et $d\vec{f}\,$ l'élément infinitésimal de force qui s'y exerce. On cherche donc à déterminer

$\vec{F} = - \int_{\Sigma} p \, d\vec{S}$

Pour les besoins de la démonstration, considérons maintenant l'intégrale $I\,$ suivante, où l'on supposera que $\vec{u}\,$ représente un champ de vecteurs uniforme et non nul :

$I =\left ( \int_{\Sigma} p \, d\vec{S} \right ) \cdot \vec{u}$

$\vec{u}\,$ étant uniforme, on peut aussi bien écrire

$I =\int_{\Sigma} p \, \vec{u} \cdot d\vec{S}$

Selon le théorème de flux-divergence,

$\int_{\Sigma} p \, \vec{u} \cdot d\vec{S} = \int_{\mathcal{V}} \operatorname{div} (p \, \vec{u}) \, dV$

Or, d'après l'une des formules de Leibniz de l'analyse vectorielle,

$\operatorname{div}(p \, \vec{u}) = \vec{\operatorname{grad}} (p) \cdot \vec{u} + p \, \operatorname{div} (\vec{u})$

Et puisque la divergence d'un champ de vecteurs uniforme est nulle, on a

$\operatorname{div}(p \, \vec{u}) = \vec{\operatorname{grad}} (p) \cdot \vec{u}$

Par conséquent,

$I =\int_{\Sigma} p \, \vec{u} \cdot d\vec{S} = \int_{\mathcal{V}} \vec{\operatorname{grad}} (p) \cdot \vec{u} \ dV$

$\vec{u}\,$ étant uniforme, on peut aussi bien écrire :

$I =\left ( \int_{\Sigma} p \, d\vec{S} \right ) \cdot \vec{u} = \left ( \int_{\mathcal{V}} \vec{\operatorname{grad}} (p) \, dV \right ) \cdot \vec{u}$

On en déduit donc que

$\vec{F} = - \int_{\Sigma} p \, d\vec{S} = - \int_{\mathcal{V}} \vec{\operatorname{grad}} (p) \, dV$

Or, d'après la loi fondamentale de l'hydrostatique,

$\vec{\operatorname{grad}} (p) = \rho \, \vec{g}$

D'où

$\vec{F}= - \int_{\mathcal{V}} \rho \, \vec{g} \, dV = - \left ( \int_{\mathcal{V}} \rho \, dV \right ) \vec{g} = - \, M_{\rm f\,} \vec{g}$

La résultante des forces de pression est donc égale en grandeur au poids du volume de fluide déplacé, mais orientée dans le sens contraire du poids, c'est-à-dire vers le haut.

Applications [modifier]

Exemple d'un solide entièrement immergé [modifier]

Trois solides de densités différentes peuvent subir une poussée d'Archimède inférieure, égale ou supérieure à leur poids.

Immergeons entièrement un solide de volume V, de masse m et de masse volumique ρ dans un fluide de masse volumique ρ_f uniforme, puis relâchons-le à partir du repos. Au départ, la vitesse étant nulle, deux forces seulement agissent sur le solide : son poids F_p (vers le bas) et la poussée d'Archimède F_a (vers le haut).

F_p = ρV g

F_a = ρ_fV g

F_p / F_a = ρ / ρ_f

Le rapport des masses volumiques est en l'occurrence équivalent à celui des densités.

Si la densité du solide est supérieure à celle du fluide, alors F_p > F_a et le solide coule.
Si la densité du solide est égale à celle du fluide, alors F_p = F_a et le solide demeure immobile ; il est en équilibre neutre ou indifférent.
Si la densité du solide est inférieure à celle du fluide, alors F_p < F_a et le solide remonte vers la surface.

Dans les deux cas où le solide n'est pas en équilibre, son mouvement ultérieur est déterminé par trois forces : son poids, la poussée d'Archimède (opposée au poids) et une force de frottement visqueux F_f (opposée à la vitesse).

Selon la deuxième loi du mouvement de Newton, on a alors :

F_p – F_a ± F_f = m a (le sens positif est vers le bas)

où a est l'accélération du solide.

Comme la force de frottement visqueux n'est pas constante, mais qu'elle augmente avec la vitesse, l'accélération diminue graduellement, de sorte que le solide atteint^[1] plus ou moins rapidement une vitesse limite, lorsque la résultante des forces est nulle.

Exemple d'un solide flottant à la surface d'un liquide [modifier]

La poussée d'Archimède équilibre le poids du solide.
En réalité, le point d'application^[2] de la poussée d'Archimède devrait se trouver au centre du volume immergé, donc plus bas que le centre de gravité du solide.

Considérons un solide de volume V et de masse volumique ρ_S flottant à la surface d'un liquide de masse volumique ρ_L. Si le solide flotte, c'est que son poids est équilibré par la poussée d'Archimède :

F_a = F_p .

La poussée d'Archimède étant égale (en grandeur) au poids du volume de liquide déplacé (équivalent au volume V_i immergé), on peut écrire :

ρ_LV_i g = ρ_SV g .

Le volume immergé vaut donc

V_i = ( ρ_S / ρ_L ) V .

Puisque V > V_i, il s'ensuit que ρ_S < ρ_L .

Application au cas d'un iceberg [modifier]

Considérons un morceau de glace pure à 0 °C flottant dans de l'eau de mer. Soit ρ_S = 0,917 kg/dm³ et ρ_L = 1,025 kg/dm³ (on aurait ρ_L = 1,000 kg/dm³ pour de l'eau pure à 3,98 °C). Le rapport ρ_S / ρ_L (c’est-à-dire la densité relative) est de 0,895, si bien que le volume immergé V_i représente près de 90% du volume total V de l'iceberg.

Un glaçon qui fond dans un verre [modifier]

Le volume de glace immergée correspond au volume d'eau produit par la fonte du glaçon.

Il est facile de vérifier que la fonte d'un morceau de glace pure flottant sur de l'eau pure se produit sans changement de niveau de l'eau. Le volume de glace immergé correspond en effet au volume d'eau liquide nécessaire pour égaler le poids du glaçon. En fondant, le glaçon produit (par conservation de la masse) exactement ce volume d'eau, qui « bouche le trou laissé par la disparition de la glace solide ». Le niveau d'eau reste le même. Sur la figure ci-contre, le volume délimité en pointillé est, dans le verre de gauche, le volume de glace immergée, et dans le verre de droite, le volume d'eau liquide produit par la fonte du glaçon.

On peut également faire le calcul suivant : si on considère, par exemple, un glaçon de 1 cm³ et de masse volumique 0,917 g∙cm^-3 (qui contient donc 0,917 g d'eau), le volume immergé sera de 0,917 cm³ (comme pour un iceberg, la majeure partie est sous l'eau). Lorsque le glaçon aura fondu, ces 0,917 g d'eau qui auront désormais une masse volumique de 1 g∙cm^-3 occuperont exactement le volume qu'occupait la partie immergée du glaçon.

Autres exemples d'application de la poussée d'Archimède [modifier]

La salinité de la mer Morte permet à une personne de flotter tout en étant assise.

Le principe d'Archimède s'applique à des fluides, c’est-à-dire aussi bien à des liquides qu'à des gaz. C'est ainsi grâce à la poussée d'Archimède qu'une montgolfière ou un dirigeable peuvent s'élever dans les airs (dans les deux cas, un gaz de masse volumique plus faible que l'air est utilisé, que ce soit de l'air chauffé ou de l'hélium).
Un plongeur se met à « couler » vers -12 m dans l'Atlantique ou la Méditerranée car sa densité augmente avec la profondeur (à cause de la compression croissante, particulièrement des bulles contenues dans le néoprène de sa combinaison : sa masse ne change pas mais son volume diminue) jusqu'à atteindre et dépasser celle du milieu ambiant.
L'eau douce ayant une masse volumique plus faible que l'eau salée, la poussée d'Archimède est plus forte dans la mer Morte (mer la plus salée du monde) que dans un lac. Il est donc plus facile d'y flotter.
Les spationautes s'entraînent aux exercices dans l'espace dans des piscines où, grâce à la poussée d'Archimède qui équilibre leur poids, ils peuvent connaître un état qui s'apparente jusqu'à un certain point à l'impesanteur.
Le poids des navires (et donc leur masse volumique) variant suivant qu'ils soient en charge ou sur lest, la poussée d'Archimède va également varier. Pour maintenir un niveau de flottaison (tirant d'eau) constant et assumer une meilleure stabilité, les navires sont pourvus de ballasts qu'ils peuvent remplir ou vider suivant leur cargaison ou la salinité de l'eau dans laquelle ils naviguent.(Voir aussi carène).
Les sous-marins contrôlent leur masse volumique en utilisant également des ballasts.

Point d'application [modifier]

Tout se passe comme si la poussée d'Archimède s'appliquait au centre de carène, c'est-à-dire au centre de gravité du volume de fluide déplacé^[2].

Cette caractéristique est importante pour le calcul de la stabilité d'un sous-marin en plongée ou d'un aérostat : sous peine de voir l'engin se retourner, il est nécessaire que le centre de carène soit situé au-dessus du centre de gravité.

Pour ce qui est d'un navire, en revanche, le centre de carène est souvent situé au-dessous du centre de gravité (par exemple pour une planche à voile). Cependant, lorsque la pénétration de l'objet dans le fluide évolue, le centre de carène se déplace, créant un couple qui vient s'opposer au mouvement. La stabilité est alors assurée par la position du métacentre, qui est le point d'application des variations de la poussée. Ce métacentre doit se trouver au-dessus du centre de gravité.

De façon anecdotique, on peut remarquer que les concepteurs de sous-marins doivent s'assurer simultanément de deux types d'équilibres pour leurs engins.